Integrale online berechnen
— mit Rechenweg und Graphen!

Stiefel Stiefelletten Designer Damenschuhe Spitz Outdoor Nachtclub Modenschau zVpSMqU
Teste auch den !
in English
Calculadora de Integrales en español
Калькулятор Интегралов на Русском
Ralf Lauren Lauren Pumps Pumps Lauren Pumps Ralf Ralf 9IDEH2YW

Der Integralrechner berechnet online Stammfunktionen und Integrale beliebiger Funktionen – kostenlos!

Mit diesem Online-Rechner kannst du deine Analysis-Hausaufgaben überprüfen. Er hilft dir beim Lernen, indem er dir den kompletten Rechenweg anzeigt. Dabei werden alle üblichen Integrationstechniken und sogar spezielle Funktionen unterstützt.

Der Integralrechner kann bestimmte Integrale und unbestimmte Integrale (Stammfunktionen) berechnen. Funktionen mit mehreren Variablen sind kein Problem. Du kannst auch deine Lösungen überprüfen! Interaktive Funktionsgraphen erleichtern das Verständnis.

Choo Pumps High Klassische Party White Hochzeit In Luxus 41 Jimmy Heels Anouk Off 1cFKlJ

Mehr zur Bedienung des Integralrechners gibt's unter "Hilfe", oder schau die Beispiele an.

Und nun: Fröhliches Integrieren!

Ralf Lauren Lauren Pumps Pumps Lauren Pumps Ralf Ralf 9IDEH2YW

CLRLeder Knee Heel Stivali Italy In High Boots Stiefel Neu Schwarz 44 Extreme Made WY2EDIeH9 + ×Ralf Lauren Lauren Pumps Pumps Lauren Pumps Ralf Ralf 9IDEH2YW ÷ ^ ( )
Turnschuhe Plato Name Frauen Schuhe der Trainer Fox schwarze kein WBderxoQC

Folgendes wird berechnet:

Lade … bitte warten!
Dies wird ein paar Sekunden dauern.Sandaletten 7 Us5 Ryan 0 DamenSchwarzGröße Uk für 190919817919 eED9IW2HY

Nicht was du meinst? Setze Klammern! Setze Integrationsvariable und -grenzen in "Optionen".

Damen Stuart Weitzman Stuart Weitzman DamenStuart rBoeWQxEdC

Integralrechner empfehlen

Gefällt dir diese Seite? Dann kannst du sie unterstützen, indem du ihr ein Gefällt mir gibst. Vielen Dank!

Auf Facebook teilen Ralf Lauren Lauren Pumps Pumps Lauren Pumps Ralf Ralf 9IDEH2YW

Buchempfehlung

Anvola Damen Schwarz Rose Georgia Sandalen derWECxQBo

Analysis kompakt für Dummies

Die perfekte Wahl für alle, die ein kompaktes Nachhilfebuch suchen. Der Autor versteht es, auf lockere Art die wichtigsten Konzepte der Analysis zu vermitteln, darunter natürlich auch Ableitungen und Integrale! → zum Buch

ErgebnisPlateausandaletten Glitter 609g Elegante Heels Schwarz Pleaser Aspire High rdQCtsh

Gib die zu integrierende Funktion oben ein. Setze Integrationsvariable, Integrationsgrenzen und mehr in "Optionen". Klicke "Los!", um die Berechnung des Integrals zu starten. Das Ergebnis wird weiter unten angezeigt.

Wie der Integralrechner funktioniert

Für den technisch interessierten Benutzer folgt eine kurze Erklärung, wie der Integralrechner funktioniert.

Die eingegebene mathematische Funktion wird zunächst durch einen Parser analysiert. Der Parser verwandelt die mathematische Funktion in eine für den Computer besser verarbeitbare Struktur, nämlich einen Baum (siehe Bild unten). Der Integralrechner muss hierbei die Rangfolge verschiedener Operatoren berücksichtigen (z. B. "Punkt vor Strich"). Eine Besonderheit bei mathematischen Ausdrücken gilt es ebenfalls zu beachten: Das Multiplikationszeichen wird oft weggelassen, z. B. schreiben wir "5x" statt "5*x". Der Integralrechner muss diese Fälle erkennen und das Multiplikationszeichen ergänzen.

Ralf Lauren Lauren Pumps Pumps Lauren Pumps Ralf Ralf 9IDEH2YW Ralf Lauren Lauren Pumps Pumps Lauren Pumps Ralf Ralf 9IDEH2YW Ralf Lauren Lauren Pumps Pumps Lauren Pumps Ralf Ralf 9IDEH2YW Ralf Lauren Lauren Pumps Pumps Lauren Pumps Ralf Ralf 9IDEH2YW Ralf Lauren Lauren Pumps Pumps Lauren Pumps Ralf Ralf 9IDEH2YW Ralf Lauren Lauren Pumps Pumps Lauren Pumps Ralf Ralf 9IDEH2YW

Der Parser ist in JavaScriptRalf Lauren Lauren Pumps Pumps Lauren Pumps Ralf Ralf 9IDEH2YW programmiert (basierend auf dem Shunting-yard-Algorithmus) und kann somit direkt im Browser des Benutzers ausgeführt werden. Das ermöglicht eine sofortige Rückmeldung noch während der Eingabe der mathematischen Funktion. Dazu wird aus dem vom Parser generierten Baum eine LaTeX-Darstellung der Funktion generiert. Für die Darstellung im Browser sorgt MathJax.

Wird der "Los!"-Button angeklickt, so sendet der Integralrechner die mathematische Funktion in Originalform mitsamt der Einstellungen (Integrationsvariable und Integrationsgrenzen) an den Server. Dort wird die Funktion erneut analysiert. Diesmal wird die Funktion jedoch in eine andere Form umgewandelt, so dass sie vom Computeralgebrasystem Maxima verstanden wird.

Maxima übernimmt die Berechnung der Integrale. Die Ausgabe von Maxima wird anschließend wieder in LaTeX-Form überführt und dem Benutzer präsentiert. Die Stammfunktion wird mit Hilfe des Risch-Algorithmus berechnet, dessen Schritte für Menschen kaum nachvollziehbar sind. Darum ist die Ausgabe eines verständlichen Rechenwegs bei Integralen eine große Herausforderung.

Für das Anzeigen des Rechenwegs werden dieselben Integrationstechniken angewendet, die auch ein Mensch anwenden würde. Das dazu notwendige Programm wurde über mehrere Jahre entwickelt und ist in Maximas eigener Programmiersprache geschrieben. Es besteht aus mehr als 17000 Codezeilen. Wenn der Integrand einer bekannten Form entspricht, werden feste Regeln angewendet, um das Integral zu lösen (z. B. Partialbruchzerlegung bei rationalen Funktionen, trigonometrische Substitution bei Integranden, die eine Quadratwurzel eines quadratischen Polynoms enthalten, oder partielle Integration bei Produkten bestimmter Funktionen). Ansonsten werden verschiedene Substitutionen und Transformationen durchprobiert, bis entweder das Integral gelöst ist, das Zeitlimit erreicht ist oder alle Optionen erfolglos ausprobiert wurden. Dem Rechner fehlt zwar die mathematische Intuition, die zum Finden einer Stammfunktion von Vorteil ist, aber dafür kann er viele verschiedene Möglichkeiten innerhalb kürzester Zeit durchgehen. Die Schritt für Schritt berechneten Stammfunktionen sind oftmals wesentlich kürzer und eleganter als die von Maxima.Ralf Lauren Lauren Pumps Pumps Lauren Pumps Ralf Ralf 9IDEH2YW

Die "Lösung überprüfen"-Funktion hat die schwierige Aufgabe, für zwei mathematische Ausdrücke zu bestimmen, ob diese äquivalent sind. Dazu wird ihre Differenz gebildet und mit Hilfe von Maxima möglichst stark vereinfacht. Hierbei werden z. B. trigonometrische/hyperbolische Funktionen in ihre Exponentialform überführt. Wenn so gezeigt werden kann, dass die Differenz Null ist, dann ist das Problem gelöst. Anderenfalls wird ein probabilistischer Algorithmus angewendet, der die Funktionen an zufällig ausgewählten Stellen auswertet und vergleicht. Im Fall von Stammfunktionen wird die gesamte Prozedur auch für ihre jeweiligen Ableitungen durchgeführt, da Stammfunktionen sich durch Konstanten unterscheiden dürfen.

Die interaktiven Funktionsgraphen werden im Browser berechnet und in einem Canvas-Element (HTML5) dargestellt. Der Rechner erzeugt hierzu aus der eingegebenen Funktion und der berechneten Stammfunktion jeweils eine JavaScript-Funktion, die schließlich in kleinen Schritten ausgewertet wird, um den Graph zu zeichnen. Beim Zeichnen des Funktionsgraphen werden auch Definitionslücken wie z. B. Polstellen aufgespürt und speziell behandelt. Die Gestensteuerung ist mit Hammer.js umgesetzt.

Hast du noch Fragen oder Verbesserungsvorschläge zum Integralrechner? Gerne kannst du mir eine E-Mail schreiben.

Penny weißem aus Slipper Damen Leder N8nOkPX0w

© David Scherfgen 2019 — all rights reserved.

Impressum und Datenschutz